常用均值不等式及证明证明

这四种平均数满足hn?gn?

an?qn

?、ana1、a2、?r?，当且仅当a1?a2??

?an时取“=”号

仅是上述不等式的特殊情形，即d(-1)≤d(0)≤d(1)≤d(2)由以上简化，有一个简单结论，中学常用

均值不等式的变形：

(1)对实数a,b，有a

2?b2?2ab(当且仅当a=b时取“=”号)，a,b?0?2ab

(4)对实数a,b，有

a?a-b??b?a-b?

a2?b2?

2ab?0

(5)对非负实数a,b，有

(8)对实数a,b,c，有

a2?

b2?c2?ab?bc?ac

a?b?c?abc(10)对实数a,b,c，有

均值不等式的证明：

方法很多，数学归纳法（第一或反向归纳）、拉格朗日乘数法、琴生不等式法、排序

不等式法、柯西不等式法等等

用数学归纳法证明，需要一个辅助结论。

引理：设a≥0，b≥0，则?a?b??an?na?n-1?b

n

注：引理的正确性较明显，条件a≥0，b≥0可以弱化为a≥0，a+b≥0(用数学归纳法)。

当n=2时易证；

假设当n=k时命题成立，即

那么当n=k+1时，不妨设ak?1是则设

a1,a2,?,ak?1中最大者，kak?1?a1?a2???ak?1 s?a1?a2???ak

用归纳假设

下面介绍个好理解的方法琴生不等式法

琴生不等式：上凸函数f?x?,x1,x2,?,xn是函数f?x?在区间(a,b)内的任意n个点，设f?x??lnx，f

?x?为上凸增函数所以，在圆中用射影定理证明（半径不小于半弦）

n元均值不等式的证明 三项均值不等式的证明篇四

用均值不等式证明不等式

【摘要】：不等式的证明在竞赛数学中占有重要地位．本文介绍了用均值不等式证明几个不等式，我们在证明不等式时，常用到均值不等式。要求我们要认真分析题目，本文通过几个国内外竞赛数学的试题，介绍用均值不等式证明初等不等式的基本方法及技巧。

【关键词】：均值不等式；不等式；方法；技巧

均值不等式

设 a1、a2、?、an 是 n 个 正数，则不等式h(a)?g(a)?a(a)?q(a)称为均值不等式[1]．其中

h(a)?

n

1a

1?1a

2???

1an，g(a)?

a1a2a1a?an，a(n)?

a1?a2???an

n

22，2

q(n)?

a1?a2???an

n

?、an 的调和不等式，几何平均值，算术平均值，均方根平均分别称为 a1、a2、值．

例1设a1、a2、…、an均为正，记

?(n)?n（a1?a2???an

n

?

a1a2?an)

试证：?(n)??(n?1)，并求等号成立的条件．

证明由所设条件，得

?(n)??(n?1)

=n（a1?a2???an

n

?

n

a1a2?an)?(n?1)（a1?a2??an?

1n?1

?

n?1

a1a2?an?1)

=a1?a2???an?nna1a2?an?(a1?a2???an?1)?(n?1)n?1a1a2?an?1

=an?(n?1)(a1a2?an?1)n?1?n(a1a2?an)n，n?1

???(a1a2?an?1)n?1，有 将g(a)?a(a)应用于n个正数：an，（a1a2?an?1）

?????????????????

n?1个

an?(n?1)(a1a2?an?1)n?1

n

?(a1a2?an)n，即

an?(n?1)(a1a2?an?1)n?1?n(a1a2?an)n．

所以?(n)??(n?1)，当且仅当an?(a1a2?an?1)立．

n?1，即ann?1?a1a2?an?时等号成1

此题不只是公式的直接应用．代表了均值不等式中需要挖掘信

?、an 的一类题． 息找a1、a2、例2设x?y?z?0，求证：6(x3?y3?z3)2?(x2?y2?z2)3． 证明当x?y?z?0时不等式显然成立．

除此情况外，x、y、z中至少有一正一负．不妨设xy?0，因为

z??(x?y)，所以

i?6(x?y?z)?6[x?y?(x?y)]?6[?3xy(x?y)]?54xyz

．

若由此直接用g(a)?a(a)(n?3)，只能得到较粗糙的不等式

i?54xyz?54（x?y?z

2)?2(x?y?z)，3222

3如果改用下面的方法，用g(a)?a(a)，便得

i?54xyz

222

?216

xy2

?

xy2

?z

?xy?xy2???z?

??(2z2?2xy)3，?216???3????

再注意到x2?y2?(x?y)2?2xy?z2?2xy，因而2z2?2xy?x2?y2?z2，于是即得欲证的不等式．

此题解题的关键在于构造a1、a2、?、an通常需要拓宽思路多次尝试，此类也属均值不等式的常考类题． 例3设x?0，证明：2

x

?2

x

?2?2

x

．(第16届全苏数学竞赛试题[2])

证明此不等式的外形有点像均值不等式． 由g(a)?a(a)，得

x?2

x

x

?2

x

?2?2

x

?2

x

?2?2，又

x?2

x

1111

?(x12x4)2?x6，即得要证的不等式．

结语

有些不等式则可以利用某个已经证明成立的不等式来证明(因此多熟悉几个比较常见的不等式是有好处的)；有些不等式还要用数学归纳法来证明等等．而且在一个题目的证明过程中，也往往不止应用一种方法，而需要灵活运用各种方法．因此，要培养和提高自己的证题能力。

参考文献

[1]陈传理等编．数学竞赛教程 [m]．北京：高等教育出版设，1996，(10)：

133-134．

[2]常庚哲等编．高中数学竞赛辅导讲座[m]．上海：上海科学技术出版社，1987．38-49

n元均值不等式的证明 三项均值不等式的证明篇五

均值不等式的证明

设a1,a2,a3...an是n个正实数，求证(a1+a2+a3+...+an)/n≥n次√(a1*a2*a3*...*an).要简单的详细过程，谢谢！！

你会用到均值不等式推广的证明，估计是搞竞赛的把

对n做反向数学归纳法

首先

归纳n=2^k的情况

k=1。。

k成立k+1。。

这些都很简单的用a+b>=√(ab)可以证明得到

关键是下面的反向数学归纳法

如果n成立对n-1，你令an=(n-1)次√(a1a2...a(n-1)

然后代到已经成立的n的式子里，整理下就可以得到n-1也成立。

所以得证

n=2^k中k是什么范围

k是正整数

第一步先去归纳2，4，8，16，32...这种2的k次方的数

一般的数学归纳法是知道n成立时，去证明比n大的时候也成立。

而反向数学归纳法是在知道n成立的前提下，对比n小的数进行归纳，指“平方平均”大于“算术平均”大于“几何平均”大于“调和平均”

我记得好像有两种几何证法，一种三角证法，一种代数证法。

请赐教!

sqrt{}≥(a1+a2+..an)/n≥n次根号(a1a2a3..an)≥n/(1/a1+1/a2+..+1/an)

证明：

(((a1)^2+(a2)^2+..(an)^2)/n)≥(a1+a2+..an)/n

两边平方,即证((a1)^2+(a2)^2+..(an)^2)≥(a1+a2+..an)^2/n

(1)如果你知道柯西不等式的一个变式，直接代入就可以了：

柯西不等式变式：

a1^2/b1+a2^2/b2+...an^2/bn≥(a1+a2+...an)^2/(b1+b2...+bn)

当且仅当a1/b1=a2/b2=...=an/bn是等号成立

只要令b1=b2=...=bn=1，代入即可

(2)柯西不等式

(a1^2+a2^2+...an^2)*(b1+b2...+bn)≥(a1b1+a2b2+...anbn)^2

2.(a1+a2+..an)/n≥n次根号(a1a2a3..an)

(1)琴生不等式:若f(x)在定义域内是凸函数，则nf((x1+x2+...xn)/n)≥f(x1)+f(x2)+...f(xn)

令f(x)=lgx显然，lgx在定义域内是凸函数

nf((x1+x2+...xn)/n)=nlg≥

f(x1)+f(x2)+...f(xn)=lga1+lga2+lga3...lgan=lga1*a2..an

也即lg≥1/n(lga1a2a3...an)=lg(a1a2a...an)^(1/n)=lgn次根号(a1a2..an)

f(x)在定义域内单调递增，所以(a1+a2+..an)/n≥n次根号(a1a2..an)

(2)原不等式即证：a1^n+a2^n+...an^n≥na1a2a3...an

先证明a^n+b^n≥a^(n-1)b+b^(n-1)a做差(a-b)(a^(n-1)-b^(n-1))≥0

2*(a1^n+a2^n+...an^n)≥a1^(n-1)a2+a2^(n-1)a1+a2^(n-1)a3+a3^(n-1)a2...an^(n-1)a1+a1^a(n-1)an

=a2(a1^(n-1)+a3^(n-1))+a3(a2^(n-1)+a4^(n-1))...≥a2a1^(n-2)a3+a2a3^(n-2)a1+...≥...≥2na1a2...an

即a1^n+a2^n+...an^n≥na1a2a3...an

(3)数学归纳法:但要用到(1+x)^n>1+nx这个不等式，不予介绍

3.n次根号(a1a2a3..an)≥n/(1/a1+1/a2+..+1/an)

原不等式即证：n次根号(a1a2a3..an)*(1/a1+1/a2+..+1/an)≥n

左边=n次根号+n次根号++n次根号+...n次根号

由2得和≥n*n次根号(它们的积)所以左边≥n*n次根号(1)=n

所以(a1a2a3..an)≥n/(1/a1+1/a2+..+1/an)

证毕

特例：sqrt(a^2+b^2/2)≥(a+b)/2≥sqrt(ab)≥2/1/a+1/b

证明：

(a^2+b^2/2)≥(a+b)/2两边平方a^2+b^2≥(a+b)^2/4即证(a/2-b/2)^2≥0显然成立

2.(a+b)/2≥sqrt(ab)移项即证(sqrt(a)-sqrt(b))≥0显然成立

此不等式中a+b可以表示一条直径的两部分，(a+b)/2=rsqrt(ab)就是垂直于直径的弦，而r≥弦的一半

(ab)≥2/1/a+1/b两边同时乘上1/a+1/b即证sqrt(ab)*(1/a+1/b)≥2

而sqrt(ab)*(1/a+1/b)=sqrt(a/b)+sqrt(b/a)≥2。